Une page d’une édition de la dynastie Qing du manuel de mathématiques de Sun Tzu

Connaissez-vous Sun Tzu ?

Non, l’autre, le mathématicien.

Sun Tzu (ou Sun Zi si l’on s’en tient à transcription par le système pinyin^[1]) était un mathématicien et astronome chinois vivant probablement aux alentours de 300 après J.-C.. En réalité, on ne sait quasiment rien de la vie de ce Sun Tzu. Jusqu’au XVII^e siècle, il fut même longtemps confondu avec son homonyme stratège^[2] ! Aujourd’hui, le siècle même de la composition de ses écrits mathématiques reste sujet à caution…

Outre ses travaux sur l’élaboration d’un calendrier, il est surtout connu pour avoir publié un traité de mathématiques que l’on désigne aujourd’hui sous le nom de « Classique mathématique de Sun Tzu » (ou « Calculs classiques de Sun Tzu », Sun Zi Suan Jing). Ce traité se vit attribuer le rang de classique des mathématiques durant la dynastie Tang (618 – 907 ap. J.-C.), à l’instar de L’art de la guerre de Sun Tzu qui, lui, fut désigné par l’empereur Yuan Feng (1078-1085) comme faisant partie des sept classiques de la stratégie (sur le modèle des Treize Classiques du confucianisme). Son traité ne semble pas avoir été traduit en français. En revanche, une traduction intégrale existe en anglais^[3]. Dans ce texte, figure la plus ancienne version connue du problème que l’on nomme aujourd’hui « théorème des restes chinois » :

« Soit des objets dont on ignore le nombre. En les comptant 3 par 3 il en reste 2 ; en les comptant 5 par 5, il en reste 3 et en les comptant 7 par 7, il en reste 2. Combien y a-t-il d’objets ? »

La réponse est 23. Pour ne pas vous laisser sur votre faim, voici la solution (assez obscure) qu’il proposait à ce problème :

En comptant par 3, il en reste 2 ; poser 140 ;
en comptant par 5, il en reste 3 ; poser 63 ;
en comptant par 7, il en reste 2 ; poser 30.

Faire la somme de ces trois nombres, on obtient 233.

Soustraire 210 de ce total, d’où la réponse : 23.

En général, pour chaque unité restante d’un décompte par 3, poser 70 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 5, poser 21 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 7, poser 15. Si la somme ainsi obtenue vaut 106 ou plus, ôter 105 pour trouver la réponse.

Pour plus de précisions sur ce théorème, vous pouvez vous reporter à l’article très complet de Wikipédia ou à la page de Gérard Villemin.